Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有成立，求m的最大值；
（3）令，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时，．

Answer 1

（1）由，得（n≥2）．
两式相减，得，即（n≥2）．
于是，所以数列是公差为1的等差数列．（2分）
又，所以a₁=4．
所以，故．（4分）
（2）因为=，则．
令，则．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为．
据题意，，即m＜19．又m为整数，故m的最大值为18．（8分）
（3）因为，则当n≥2时，==．（9分）
下面证
先证一个不等式，当x＞0时，
令，则，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，
令，，，，…，
以上n个式相加，即有
∴． （14分）
分析：（1）由条件可得，再化为 ，可得数列是公差为1的等差数列，求出a₁的值，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（2）因为=，则，令，化简 f（n+1）-f（n），再用放缩法证明它大于零，可得
数列{f（n）}为递增数列，由此求得它的最小值，由求得m的最大值．
（3）因为，则当n≥2时，化简T_2n为，再通过证明当x＞0时，，来证明．
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式综合，数学归纳法的应用，属于难题．