Question

在直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率e=，左右两个焦分别为F₁，F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为B（0，-b），知B（0，-），若存在存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上，则直线BB′过点B（0，-），且直线l垂直平分线段BB′，由此能求出直线l的方程．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=，
左右两个焦分别为F₁，F₂．过右焦点F2且与轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2，
∴，解得a=2，b=，c=，
∴椭圆C的方程为．
（2）∵椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为B（0，-b），
∴B（0，-），
若存在存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上，
则直线BB′过点B（0，-），且BB′⊥l，直线l垂直平分线段BB′，
∴直线BB′的方程为：y+=-x，即x+y+=0，
联立，解得B（0，-），B′（-，），
∵直线l：y=x+m垂直平分线段BB′，
∴直线l：y=x+m过BB′的中点（-，-），
∴m=-+=．
∴直线l的方程为y=x+．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的方程是否存在，综合性强，难度大，有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．