Question

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log₄（4+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．

Answer 1

分析：（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．
（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围；
（3）先用待定系数法表示出函数h（x），再根据函数h（x）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可

解答：解：（1）设h（x）=m（x²+3x）+n（3x+4）=mx²+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

得

a= 3-n 2 b=- 1 n

∴a+2b=

3-n

2

-

2

n

=

3

2

-

n

2

-

2

n

（8分）
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(-∞， -

1

2

) ∪(

7

2

，+∞)（11分）
（3）设h（x）=mlog₄（4^x+1）+n（x-1）
∵h（x）是偶函数，∴h（-x）-h（x）=0，
即mlog₄（4^-x+1）+n（-x-1）-mlog₄（4^x+1）-n（x-1）=0
∴（m+2n）x=0得m=-2n（13分）
则h（x）=-2nlog₄（4^x+1）+n（x-1）=-2n[log₄（4^x+1）-

1

2

x+

1

2

]=-2n[log₄（2^x+

1

2x

）+

1

2

]
∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有-2n=1∴m=1．n=-

1

2

∴h（x）=log₄（2^x+

1

2x

）+

1

2

h（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．（18分）

点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．