Question

12．已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|．
（1）求$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的值；
（2）若E是AC的中点，求|$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{OE}$|的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，画出图形，求得AB=AC=OA=OB=OC=2，四边形ABOC为菱形，∠ACB=30°，BC=2$\sqrt{3}$，运用向量数量积的定义即可得到所求值；
（2）运用向量的平方即为模的平方，分别求得|$\overrightarrow{BE}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{OE}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{OE}$=3，即可得到所求值．

解答 解：（1）如图所示
△ABC中，∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$，
取BC的中点为D，则$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$，
∴cos∠BOD=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，
∴AB=AC=OA=OB=OC=2，四边形ABOC为菱形，
∴BC=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cos∠ACB
=2×$2\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6；
（2）$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AE}}^{2}-2\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^{2}}$
=$\sqrt{1-2×2×（-\frac{1}{2}）+4}$=$\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CO}$，|$\overrightarrow{OE}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CO}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{CE}}^{2}-2\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CO}+{\overrightarrow{CO}}^{2}}$
=$\sqrt{1-2×2×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{OE}$=（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CO}$）
=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CO}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CE}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CO}$
=-1-1×2×（-$\frac{1}{2}$）-1×2×$\frac{1}{2}$+2×2=3，
即有|$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{OE}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{BE}}^{2}+{\overrightarrow{OE}}^{2}+2\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OE}}$
=$\sqrt{7+3+2×3}$=4．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算求解能力，属于中档题．