Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）判断在上的零点的个数，并说明理由.（提示：）

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）在上的零点的个数为1.理由见解析

【解析】

（1）令导数，解出方程后，结合函数的定义域，探究随的变化，即可求出函数的单调区间.

（2）结合函数的单调性可判断出函数在上无零点，又由，结合函数在上的单调性及零点存在定理，可判断出在上的零点的个数.

解：（1）由题意知，的定义域为，则令，

解得或，当或时，，则此时单调递增；

当时，，则此时单调递减.

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）由函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，，故在上无零点；

又，

当时，因为，

又在上单调递增，所以在上仅有一个零点.

综上，在上的零点的个数为1.