Question

6．求复合函数值域．
（1）f（x）=4^x-2^x+1
（2）f（x）=9^x-3^x+3+20
（3）y=x-4$\sqrt{x}$+6（1≤x≤25）
（4）y=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{4}{x}$+6（$\frac{1}{5}$≤x≤2）．

Answer 1

分析 根据函数的性质进行求解即可求出函数的值域．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵2^x＞0，
∴f（x）=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
即函数的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞）
（2）f（x）=9^x-3^x+3+20=（3^x）²-3•3^x+20=（3^x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{71}{4}$，
∵3^x＞0，
∴f（x）=（3^x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{71}{4}$≥$\frac{71}{4}$，
即函数的值域为[$\frac{71}{4}$，+∞）
（3）y=x-4$\sqrt{x}$+6=（$\sqrt{x}$-2）²+2，
∵1≤x≤25，∴1≤$\sqrt{x}$≤5，
故当$\sqrt{x}$=2时，函数取得最小值y=2，
当$\sqrt{x}$=5时，函数取得最大值y=（5-2）²+2=9+2=11，
即函数的值域为[2，11]．
（4）y=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{4}{x}$+6=（$\frac{1}{x}$-2）²+2，
∵$\frac{1}{5}$≤x≤2，∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤5．
故当故当$\frac{1}{x}$=2时，函数取得最小值y=2，
当$\frac{1}{x}$=5时，函数取得最大值y=（5-2）²+2=9+2=11，
即函数的值域为[2，11]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用整体法结合一元二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．