Question

【题目】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x2＝y；（2）t≥1．

【解析】

（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案.

（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l的方程设为y＝kx+t，联立方程，利用韦达定理得到x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x12，y2＝x22，根据∠PMQ＝∠AMB＝90°，可得1，化简得到答案.

（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点（0，）到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为，

可得，解得p，即抛物线的方程为x2＝y；

（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l的方程设为y＝kx+t，联立x2＝y，可得x2﹣kx﹣t＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得k2+4t＞0，x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x12，y2＝x22，

设M（m，m2），Q（，0），

由∠PMQ＝∠AMB＝90°，可得1，化为m3﹣mt+m，①

1，即（m+x1）（m+x2）＝﹣1，化为m2+km﹣t+1＝0，②

由①②可得t＝k2m2，

由k2﹣4（1﹣t）≥0可得4（1﹣t）≤k2，

由于m≠0，m2＞0，可得0解得t≥1．