Question

15．1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了“铱星”系统通信卫星，卫星运行的轨道是椭圆，F₁、F₂是其焦点，地球中心为焦点F₁，设地球半径为m，已知椭圆轨道的近地点A（离地面最近的点）距地面$\frac{m}{3}$，远地点B（离地面最远的点）距地面3m，并且F₁、A、B在同一直线上，求卫星运行的轨道方程．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{m}{3}=a-c}\\{m+3m=a+c}\end{array}\right.$，b²=a²-c²．解出即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{m}{3}=a-c}\\{m+3m=a+c}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{8m}{3}$，c=$\frac{4m}{3}$，
∴b²=a²-c²=$\frac{48{m}^{2}}{9}$．
∴卫星运行的轨道方程为：$\frac{9{x}^{2}}{64{m}^{2}}$+$\frac{9{y}^{2}}{48{m}^{2}}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．