Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10Sn=

a

2 n

+5an+6，
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6，根据a_n=S_n-S_n-1，可以得到a_n与a_n-1的差为定值，进而根据等差数列的定义得到答案；
（2）结合a₁，a₃，a₁₅成等比数列，令n=1，我们可以求出a₁，分类讨论后，即可得到满足条件的a₁及a_n与a_n-1的关系，进而求出数列{a_n}的通项a_n．

解答：证明：（1）∵10Sn=

a

2 n

+5an+6…①
∴10Sn+1=

a

2 n+1

+5an+1+6…②
②-①得：
10an+1=

(a

2 n+1

-

a

2 n

)+5(an+1-an)
即

(a

n+1

-

a

n

-5)•(an+1+an)=0
∵数列{a_n}为正项数列
∴（a_n+1+a_n）≠0
∴

a

n+1

-

a

n

=5
即数列{a_n}是等差数列
（2）当n=1时，10S1=10a1=

a

2 1

+5a1+6
解得a₁=2，或a₁=3
由（1）得等差数列{a_n}的公差d=5，
当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁，a₃，a₁₅不成等比数列
∴a₁≠3；
当a₁=2时，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，
∴a₁=2，
∴a_n=5n-3．

点评：本题考查的知识点是数列的通项公式，数列的函数特征，其中在已知中包含有S_n的表达式，求通项a_n时，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是最常用的办法．