【题目】如图,四棱锥中侧面为等边三角形且垂直于底面,,,,是的中点.
(1)证明:直线平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明四边形是平行四边形,可得,进而得证.
(2)首先取的中点,连接,根据题意易证底面, 再建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,利用向量的夹角公式即可求得余弦值.
(1)取的中点,连接,,
∵是的中点,∴,
又,∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,
又不在平面内,在平面内,
∴平面.
(2)取的中点,连接.
因为,所以
又因为平面底面,所以底面.
分别以、所在的直线为轴和轴,以底面内的中垂线为轴
建立空间直角坐标系,
令,则,
因为是等边三角形,则,为的中点,,
则,,,
∴,,,
设平面的法向量为,平面的法向量为,
则,令,,
,令,故可取,
∴,
经检验,二面角的余弦值的大小为.
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【题目】如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,,侧面是等腰直角三角形,,平面平面,点分别是棱上的点,平面平面
(Ⅰ)确定点的位置,并说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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【题目】下列说法中错误的是
①命题“,有”的否定是“,都有”;
②若一个命题的逆命题为真命题,则它的否命题也一定为真命题;
③已知为假命题,则实数的取值范围是;
④我市某校高一有学生人,高二有学生人,高三有学生人,现采用分层抽样的方法从该校抽取个学生作为样本进行某项调查,则高三被抽取的学生个数为人.
A. ①④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②
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【题目】平面上有12个点,且任意三点不共线,以其中任意一点为始点,另一点为终点作向量,且作出所有的向量.其中3边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这些点为顶点的“零三角形”个数的最大值.
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【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响,某校随机抽取100名学生,对学习成绩和使用手机情况进行了调查,统计数据如表所示(不完整):
使用手机 | 不使用手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | |
学习成绩一般 | 30 | ||
总计 | 100 |
(Ⅰ)补充完整所给表格,并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关;
(Ⅱ)现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人,再从这6人中随机抽取3人,记这3人中“学习成绩优秀”的人数为,试求的分布列与数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】经统计,某校学生上学路程所需要时间全部介于与之间(单位:分钟).现从在校学生中随机抽取人,按上学所学时间分组如下:第组,第组,第组,第组,第组,得打如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)根据图中数据求的值.
(Ⅱ)若从第,,组中用分成抽样的方法抽取人参与交通安全问卷调查,应从这三组中各抽取几人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若从这人中随机抽取人参加交通安全宣传活动,求第组至少有人被抽中的概率.
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