(06年山东卷文)(12分)
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且为何值时,PC⊥平面BMD.
解析:解法一:
平面
,
又,
由平面几何知识得:
(Ⅰ)过做
交于
于
,连结
,则
或其补角为异面直线
与
所成的角,
四边形
是等腰梯形,
又,
四边形
是平行四边形。
,
是
的中点,且
又,
为直角三角形,
在中,由余弦定理得
故异面直线PD与所成的角的余弦值为
(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)及三垂线定理知,
为二面角
的平面角
,
二面角
的大小为
(Ⅲ)连结,
平面
平面
,
,又在
中,
,
,
,故
时,
平面
解法二: 平面
,
又,
,
由平面几何知识得:
以为原点,
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则各点坐标为,
,
,
,
,
(Ⅰ),
,
。
。
故直线与
所成的角的余弦值为
(Ⅱ)设平面的一个法向量为
,
由于,
,
由 得
取,又已知平面ABCD的一个法向量
,
又二面角为锐角,
所求二面角
的大小为
(Ⅲ)设,由于
三点共线,
,
平面
,
由(1)(2)知:,
。
,
故时,
平面
。
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