Question

19．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a}{2}$x²-2x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为-4，求a的值；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若过点（0，-$\frac{1}{3}$）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（Ⅱ）求出当a=3时f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）设点A（t，-$\frac{1}{3}$t³+$\frac{a}{2}$t²-2t）是函数f（x）图象上的切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点（0，-$\frac{1}{3}$），可得方程有三个不同的实数解，设g（t）=$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{3}$，求出导数，求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a}{2}$x²-2x的导数为f′（x）=-x²+ax-2，
因为函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为-4，
所以-4+2a-2=-4，解得a=1；
（Ⅱ）当a=3时，f′（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），
单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）；
（Ⅲ）设点A（t，-$\frac{1}{3}$t³+$\frac{a}{2}$t²-2t）是函数f（x）图象上的切点，
则过点A的切线斜率k=-t²+at-2，
所以过点A的切线方程为y+$\frac{1}{3}$t³-$\frac{a}{2}$t²+2t=（-t²+at-2）（x-t），
因为点（0，-$\frac{1}{3}$）在该切线上，
所以-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$t³-$\frac{a}{2}$t²+2t=（-t²+at-2）（0-t），
即$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{3}$=0，
若过点（0，-$\frac{1}{3}$）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{3}$=0三个不同的实数根，
令g（t）=$\frac{2}{3}$t³-$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{3}$=0，
则函数y=g（t）的图象与x轴有三个不同的交点，
g′（t）=2t²-at=0，解得t=0或t=$\frac{a}{2}$，
因为g（0）=$\frac{1}{3}$，g（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{1}{24}$a³+$\frac{1}{3}$，
所以令g（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{1}{24}$a³+$\frac{1}{3}$＜0，即a＞2，
所以实数a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．