Question

【题目】在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四边形ADEF为等腰梯形，EF∥AD，已知AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．

（1）求证：平面ABCD⊥平面ADEF；
（2）求直线CF与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：对于等腰梯形ADEF，分别过点E，F作EM⊥AD，FN⊥AD，垂足分别为M，N．

则四边形EFNM为矩形．

∵DE=AF=EF=2，∴AN=DM=1，NM=2．

∴EM= = ，∴AE2= =12．

∴AE2+DE2=12+4=16=AD2，

∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．

又AE⊥EC，EC∩ED=E，

∴AE⊥平面CDE．∴AE⊥CD，

又CD⊥AD，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADEF．

又CD平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADEF．

（2）解：如图所示，分别取AD，EF，BC的中点O，G，Q．

分别以OA，OQ，OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则O（0，0，0），A（2，0，0），C（﹣2，4，0），F（1，0， ），E（﹣1，0， ）， =（﹣3，0， ）， =（﹣4，4，0）， =（﹣1，0， ）．

设平面AEC的法向量为： =（x，y，z）．则 ，即 ，取 =（1，1， ）．

设直线CF与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（1）作FN⊥AD，EM⊥AD，不难得出EFNM为矩形，由边的大小可得出AE2+DE2=AD2所以∠AED=90°，即AE⊥ED，结合AE⊥EC得出AE⊥平面CDE所以AE⊥CD，从而证明出平面ABCD⊥平面ADEF；（2）取AD，EF，BC的中点O，G，Q，以OA，OQ，OG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用法向量得出直线CF与平面EAC所成角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．