Question

如图，P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(0＜y₁＜y₂＜…＜y_n)是曲线C：y²＝3x(y≥0)上的n个点，点A_i(a_i,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且△A_i－1A_iP_i是正三角形(A₀是坐标原点)．
 
(1)写出a₁，a₂，a₃；
(2)求出点A_n(a_n,0)(n∈N^*)的横坐标a_n关于n的表达式．

Answer 1

（1）a₁＝2，a₂＝6，a₃＝12（2）a_n＝n(n＋1)(n∈N^*)

(1)a₁＝2，a₂＝6，a₃＝12；
(2)依题意，得x_n＝，y_n＝，由此及＝3x_n得 ²＝(a_n－1＋a_n)，即(a_n－a_n－1)²＝2(a_n－1＋a_n)．
由(1)可猜想：a_n＝n(n＋1)(n∈N^*)．
下面用数学归纳法予以证明：
(1)当n＝1时，命题显然成立；
(2)假定当n＝k时命题成立，即有a_k＝k(k＋1)，
则当n＝k＋1时，由归纳假设及(a_k＋1－a_k)²＝2(a_k＋a_k＋1)得[a_k＋1－k(k＋1)]²＝2[k(k＋1)＋a_k＋1]，
即(a_k＋1)²－2(k²＋k＋1)a_k＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，
解之得a_k＋1＝(k＋1)(k＋2)(a_k＋1＝k(k－1)＜a_k不合题意，舍去)，
即当n＝k＋1时，命题也成立．所以a_n＝n(n＋1)(n∈N^*)．