Question

例2、（1）已知f(x+

1

x

)=x3+

1

x3

，求f（x）．
（2）已知f(

2

x

+1)=lgx，求f（x）．
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）．
（4）已知f（x）满足2f(x)+f(

1

x

)=3x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）用配凑法根据x3+

1

x3

=(x+

1

x

)(x2+

1

x2

-1)=(x+  

1

x

)[(x+

1

x

)2 -3]可得答案．
（2）用换元法，令t=

2

x

+1，可得x=

2

t-1

，代入即可．
（3）设f（x）=ax+b代入可得．
（4）通过联立方程组可得答案．

解答：解：（1）∵f(x+

1

x

)=x3+

1

x3

=(x+

1

x

)3-3(x+

1

x

)，
∴f（x）=x³-3x（x≥2或x≤-2）．
（2）令

2

x

+1=t（t＞1），
则x=

2

t-1

，∴f(t)=lg

2

t-1

，∴f(x)=lg

2

x-1

(x＞1)．
（3）设f（x）=ax+b（a≠0），
则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，
∴a=2，b=7，∴f（x）=2x+7．
（4）2f(x)+f(

1

x

)=3x①，把①中的x换成

1

x

，得2f(

1

x

)+f(x)=

3

x

②，
①×2-②得3f(x)=6x-

3

x

，∴f(x)=2x-

1

x

．

点评：本题主要考查求函数解析式的一般方法--配凑法、换元法、待定系数法、方程组法．