Question

【题目】某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：时间分组为[0，10）的频率为

1﹣10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，

∴a= =0.015，

所以所求的频率直方图中a的值为0.015．

（2）解：100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：

=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，

因为16.7＜20，

所以该校不需要推迟5分钟上课．

（3）解：依题意满足条件的单程所需时间在[30，40）中的有3人，不妨设为a，b，c，

单程所需时间在[40，50）中的有2人，不妨设为A，B，

从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：

（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的有以下6种：

（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），

故恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的概率P= =

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，可求出直方图中的a的值；（Ⅱ）先求出上学所需时间的平均值，再与20比较即可得到答案；（Ⅲ）根据分层抽样确定[30，40）和[40，50）抽取的人数，列举任意抽取两人的基本事件，找出恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式计算即可．
【考点精析】利用频率分布直方图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．