Question

已知实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．
（1）若x，y∈R，则x+y的取值范围是

 

；
（2）若x，y∈R₊，则x+y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）令u=x+y，则y=u-x，代入xy+2x+3y-3=0．化为x²+（1-u）x+3-3u=0，由于x∈R，可得△≥0，解出即可．
（2）由实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．可得y=

3-2x

x+3

＞0，解得0＜x＜

3

2

．因此x+y=x+

3-2x

x+3

=x-

3

x+3

+2=f（x），利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答： 解：（1）令u=x+y，则y=u-x，
∵实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．
∴x（u-x）+2x+3（u-x）-3=0，
化为x²+（1-u）x+3-3u=0，
∵x∈R，
∴△≥0，
化为u²+10u-11≥0，
解得u≤-11，或u≥1．
∴x+y的取值范围是（-∞，-11]∪[1，+∞）．
（2）∵实数x，y满足xy+2x+3y-3=0．
∴y=

3-2x

x+3

＞0，解得0＜x＜

3

2

．
∴x+y=x+

3-2x

x+3

=x-

3

x+3

+2=f（x），
f′（x）=1+

3

(x+3)2

＞0，
∴函数f（x）在(0，

3

2

)上单调递增．
∴f(0)＜f(x)＜f(

3

2

)，
即1＜f（x）＜

17

6

．
∴x+y的取值范围是(1，

17

6

)．
故答案分别为：（-∞，-11]∪[1，+∞），(1，

17

6

)．．

点评：本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．