Question

（本小题满分13分）已知椭圆C₁：的离心率为，直线l: y-＝x＋2与.以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（ll）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₂过点F价且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（III）过椭圆C₁的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，     求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由              ………………2分
由直线
所以椭圆的方程是                      …………………4分
（Ⅱ）由条件，知|MF₂|=|MP|。即动点M到定点F₂的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是。     …………8分
（Ⅲ）由（1），得圆O的方程是
设
得 
则                 ……………9分
由     ①…………10分
因为

所以                                          ②……12分
由A、R、S三点不共线，知。                       ③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是……13分
点评：求解圆锥曲线的方程关键是求解a和b，可应用已知条件得到关于两个参量的方程或由性质直接求得；向量在圆锥曲线问题中往往只起到一个工具的作用，即为解题提供方程或函数.求解解析几何问题也要注重对数学思想的应用.