Question

（2008•黄冈模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，结合线面垂直的性质和正方形的性质可得PA⊥BD，AC⊥BD，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，可得∠BND为二面角B-PC-D的平面角，解△BND，即可得到二面角B-PC-D的余弦值．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD
∵ABCD为正方形∴AC⊥BD
∴BD⊥平面PAC
又BD在平面BPD内，
∴平面PAC⊥平面BPD      （6分）

解：（2）在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，
∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角，
在△BND中，BN=DN=

5

6

a，BD=

2

a
∴cos∠BND=

5 6 a2+ 5 6 a2-2a2

5 3 a2

=-

1

5

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是证得∠BND为二面角B-PC-D的平面角．