Question

若复数z=

(- 2 i)(x+2i)2

(1-i)3(- 1 2 + 3 2 i)(x-i)2

(x∈R)，且|z|≤

7

8

，则x的取值范围是（　　）

• A．（-∞，-3]∪[3，+∞）
• B．（-∞，-

  3

  ]∪[

  3

  ，+∞）
• C．[-3，3]
• D．[-

  3

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：先由得复数的运算法则，把z=

(- 2 i)(x+2i)2

(1-i)3(- 1 2 + 3 2 i)(x-i)2

(x∈R)等价转化为z=

(- 2 i)(x2+4xi-4)

(-2-2i)(- 1 2 + 3 2 i)(x2-2xi-1)

，所以|z|=

2 • (x2-4)2+16x2

4+4 • 1 4 + 3 4 (x2-1)2+4x2

=

x2+4

2(x2+1)

≤

7

8

，由此能求出x的取值范围．

解答：解：∵z=

(- 2 i)(x+2i)2

(1-i)3(- 1 2 + 3 2 i)(x-i)2

(x∈R)
=

(- 2 i)(x2+4xi-4)

(-2-2i)(- 1 2 + 3 2 i)(x2-2xi-1)

∴|z|=|

(- 2 i)(x2+4xi-4)

(-2-2i)(- 1 2 + 3 2 i)(x2-2xi-1)

|
=

2 • (x2-4)2+16x2

4+4 • 1 4 + 3 4 (x2-1)2+4x2

=

x2+4

2(x2+1)

≤

7

8

，
∴

x2+4

x2+1

-

7

4

≤0，
整理，得3x²≥9，
解得x≥

3

，或x≤-

3

．
故选B．

点评：本题考查复数的模的运算，计算量大，较繁琐，容易出错．解题时要注意积的模等于模的积．