Question

已知函数，数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=f（x_n）；若b_n=．
（1）求证数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（x）的式子给出x_n+1的表达式，然后由b_n的式子给出b_n+1的表达式，再用等比数列的定义证出是一个常数，最后由等比数列的通项公式给出b_n的表达式；
（2）用作差的方法得到一个关于λ和n的不等式，根据变量n的奇偶性将不等式分为两种情况进行讨论，得出λ的范围，最后从所得范围中找出λ的整数值．
解答：解：（1）由已知，，
∴=-2，（4分）
∴{b_n}是等比数列，且q=-2；又，∴b_n=（-2）ⁿ．（6分）
（2）要使c_n+1＞c_n恒成立，
即要c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹-λ（-2）ⁿ⁺¹]-[3ⁿ-λ（-2）ⁿ]=2•3ⁿ+3λ（-2）ⁿ＞0恒成立，
即要恒成立．下面分n为奇数、n为偶数讨论：（8分）
①当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1．∴λ＜1．
②当n为偶数时，即恒成立，又的最大值为-，∴λ＞-．
综上，，又λ为非零整数，
∴λ=-1时，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．（14分）
点评：本题综合了函数、数列、不等式三个常见考点，属于难题．第一小问证明等比数列，抓住函数的表达式是解题的关键；第二小问求参数λ的范围，注意运用变量分离的方法，结合分类讨论的思想进行解答．