Question

已知函数f（x）=

x2

2

-alnx（a＞1）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f）x）在区间（1，e）上的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求得a=2时的函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（Ⅱ）求出导数，并分解因式，讨论①当

a

≥e，即a≥e²时，②当

a

＜e，即1＜a＜e²时，求出单调区间，并求得极值．

解答： 解：（Ⅰ）a=2时，f(x)=

x2

2

-2lnx，（x＞0）
f′(x)=x-

2

x

=

x2-2

x

=

(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
令f′（x）＞0得，x＞

2

，令f′（x）＜0得，0＜x＜

2

，
则f（x）的单调递减区间为(0，

2

)，单调递增区间为(

2

，+∞)；    
（Ⅱ）f(x)=

x2

2

-alnx，导数f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
①当

a

≥e，即a≥e²时，
f（x）在区间（1，e）上单调递减，f（x）无极值点．
②当

a

＜e，即1＜a＜e²时，
f（x）在区间(1，

a

)上单调递减，在区间(

a

，e)单调递增，
则f（x）的极小值点为x=

a

，无极大值点．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．