Question

设数列{a_n}满足：a_n（n∈N*）是整数，且a_n+1-a_n是关于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根．
（1）若a₁=4且n≥2时，4≤a_n≤8求数列{a_n}的前100项和S₁₀₀；
（2）若a₁=-8，a₆=1且a_n＜a_n+1（n∈N^*）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1-a_n是关于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根，可得a_n+1=a_n+2，或a_n+1=

1

2

a_n，结合a₁=4且n≥2时，4≤a_n≤8，即可得到结论；
（2）根据条件，确定数列{a_n}的前6项是-8，-6，-4，-2，-1，1，且n＞4时，a_n+1=a_n+2，从而可得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n是关于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根
∴（a_n+1-a_n）²+（a_n+1-2）（a_n+1-a_n）-2a_n+1=0
∴（a_n+1-a_n-2）（2a_n+1-a_n）=0
∴a_n+1=a_n+2，或a_n+1=

1

2

a_n，
∵a₁=4且n≥2时，4≤a_n≤8，
∴数列{a_n}为：4，6，8，4，6，8，…，
∴数列{a_n}的前100项和S₁₀₀=33（4+6+8）+4=598；
（2）若a₁=-8且a_n＜a_n+1（n∈N^*）
∵a_n+1=a_n+2，或a_n+1=

1

2

a_n，
∴数列{a_n}的前6项是：-8，-6，-4，-2，0，2或-8，-6，-4，-2，-1，1或：-8，-6，-3，-1，1，3或-8，-6，-2，0，2，4或-8，-6，-2，-1，1，3
∵a₆=1，∴数列{a_n}的前6项是-8，-6，-4，-2，-1，1，且n＞4时，a_n+1=a_n+2，
∴数列{a_n}的通项公式是an=

2n-10，n≤4 2n-11，n≥5

；

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．