Question

20．若直线2ax-by+4=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则ab的最大值是1．

Answer 1

分析 圆x²+y²+2x-4y+1=0配方为：（x+1）²+（y-2）²=4．圆心C（-1，2），半径r=2．根据直线2ax-by+4=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则直线经过圆心C，得出关系再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0配方为：（x+1）²+（y-2）²=4．圆心C（-1，2），半径r=2．
∵直线2ax-by+4=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，
∴直线经过圆心C，可得-2a-2b+4=0，
化为：a+b=2．
∵a＞0，b＞0，
∴2≥2$\sqrt{ab}$，可得ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．
∴ab的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了直线与圆相交弦长问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．