Question

在数列{a_n）中，已知a₁=，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及它的前n项和S_n．

Answer 1

（1）证明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，
∴a_n-=3（a_n-1-）+3ⁿ，
∴-==1
∴{}是等差数列，且公差为1；
（2）解：由（1）{}是等差数列，且公差为1，a₁=，
∴=+（n-1）×1=n，∴
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）+
令T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，①则
3T_n=1×3²+2×3³+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②：-2T_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=-
∴T_n=
∴S_n=+
分析：（1）利用数列递推式，结合-，即可证得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．