Question

如图，在等腰梯形ABCD中，上底CD=3，下底AB=4，E、F分别为AB、CD中点，分别沿DE、CE把△ADE与△BCE折起，使A、B重合于点P．

（1）求证：PE⊥CD；
（2）若点P在面CDE的射影恰好是点F，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接PF，证明CD⊥面PEF，利用线面垂直的性质，可得PE⊥CD；
（2）证明PF⊥面CDE于F，可得PF⊥EF，分别计算PC，BC，利用PC=BC，即可求EF的长．

解答：（1）证明：连接PF，∵F、E分别是等腰梯形上、下两底的中点，∴EF⊥CD．
又∵AD=BC，即PD=PC且F为CD的中点，∴PF⊥CD．
又EF，PF?面PEF，EF∩PF=F，∴CD⊥面PEF．
又PE?面PEF，∴PE⊥CD．
（2）解：若点P在面CDE的射影恰好是点F，即PF⊥面CDE于F，EF?面CDE，所以，PF⊥EF
设EF=x，由已知EF为等腰梯形的高，且PE⊥CF
∵PE=BE=

1

2

AB=2，∴PF=

4-x2

∵CF=

1

2

CD=

3

2

，∴PC=

PF2+CF2

=

25-4x2

2

在等腰梯形ABCD中，BC=

EF2+(BE-CF)2

=

4x2+1

2

∵PC=BC，∴

25-4x2

2

=

4x2+1

2

，∴x=

3

，
∴EF的长为

3

．

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．