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    一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
    （I）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
    （II）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为m，用p表示恰有一次中奖的概率m，求m的最大值及m取最大值时p、n的值；
    （III）当n=15时，将15个红球全部取出，全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），共余的红球记上0号．并将标号的15个红球放人另一袋中，现从15个红球的袋中任取一球，ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、期望和方差．
    分析：（I）计算出从n+5个球中任取两个的方法数和其中两个球的颜色不同的方法，由古典概型公式，代入数据得到一次摸奖中奖的概率；
    （II）求出三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率，利用导数确定函数的单调性，即可求出其最大值及相应的p值；
    （III）记上0号的有5个红球，从中任取一球，有15种取法，它们是等可能的，确定变量的取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列、期望和方差．
    解答：解：（I）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有Cn+52种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种，
    ∴一次摸奖中奖的概率P=
    C
    1
    n
    C
    1
    5
    C
    2
    n+5
    =
    10n
    (n+5)(n+4)
    ；
    （II）设每次摸奖中奖的概率为p（0＜p＜1），三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
    m=
    C
    1
    3
    p(1-p)2    =3p3-6p2+3p（0＜p＜1）
    求导数可得m′=3（p-1）（3p-1）
    ∴函数在（0，
    1
    3
    ）上为增函数，在（
    1
    3
    ，1）上为减函数
    ∴p=
    1
    3
    时，即
    10n
    (n+5)(n+4)
    =
    1
    3
    ，即n=20时，mmax=
    4
    9
    ；
    （III）记上0号的有5个红球，从中任取一球，有15种取法，它们是等可能的
    故ξ的分布列是
    ξ 0 1 2 3 4
    P
    1
    3
    1
    15
    2
    15
    1
    5
    4
    15
    ∴Eξ=0×
    1
    3
    +1×
    1
    15
    +2×
    2
    15
    +3×
    1
    5
    +4×
    4
    15
    =2
    Dξ=（0-2）2×
    1
    3
    +（1-2）2×
    1
    15
    +（2-2）2×
    2
    15
    +（3-2）2×
    1
    5
    +（4-2）2×
    4
    15
    =
    8
    3
    ．
    点评：本题考查概率知识，考查学生的计算能力，求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值；②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1；③求出期望．
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    ．

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    86
    105
    86
    105
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