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    已知双曲线C的两个焦点为F1、F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为.直线l过F2点，且与直线F1F2的夹角为α，且tanα=,l与线段F1F2垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q，且PQ∶QF2=2∶1，求双曲线方程.

    思路解析：已知曲线的形状，可采用待定系数法，根据曲线的对称性，可以选择适当的坐标系.

    解：取F1、F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系如图所示，设双曲线方程为-=1,设F1（-c,0）,F2(c,0).

    从题设知直线l方程为y=tanα(x-c)，即y=(x-c).在方程中令x=0，得点P坐标（0,-），因=2，由定比分点坐标公式可得点Q坐标（c,-c）.

    ∵点Q在双曲线上，∴-=1     ①.         又c2=a2+b2          ②,

    从题设有ab=                              ③,

    从式①、②消去c,化简整理得16()4-41()2-21=0，

    解此方程得()2=3或()2=-（舍去）.

    ∵=(∵a＞0,b＞0),            ④

    又从式③、④解得a=1,b=.

    故所求双曲线方程为x2-=1.

    从对称性知，双曲线y2-=1也适合.

    ∴正确答案应是x2-=1或y2-=1.

    方法归纳

        由已知条件求曲线方程，如果由条件可知曲线的种类及方程的具体形式，那么一般用待定系数法来解决.涉及几个独立参变量，那么就需要列出与参数变量个数相同的独立等式，转化为解方程组求解，若未知曲线形状，那么可以采用直接法（或其他方法）求解.


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