Question

16．已知函数f（x）=sin（π+3x）+sin（3x+$\frac{π}{2}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）根据f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（π+3x）+sin（3x+$\frac{π}{2}$）=-sin3x+cos3x=$\sqrt{2}$cos（3x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期为 $\frac{2π}{3}$．
（2）根据f（x）=$\sqrt{2}$cos（3x+$\frac{π}{4}$），可得它的最大值为$\sqrt{2}$，它的最小值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．