Question

【题目】已知一条曲线C在y轴右侧，曲线C上任意一点到点的距离减去它到y轴的距离都等于1.

（1）求曲线C的方程；

（2）直线与轨迹C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点，使得直线与关于x轴对称而与直线的位置无关，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）直接根据题意得到方程化简得到答案.

（2）设，，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算，化简整理得到答案.

（1）设是曲线C上任意一点，那么点满足：，

化简得，又因为曲线C在y轴右侧，故，

所以曲线C方程为：.

（2）在x轴上存在定点使得直线与关于x轴对称而与位置无关.

理由如下：

设直线与曲线C的交点坐标为，，

由，消去x，整理得，，

由韦达定理得，，.

假设存在点，使得直线与关于x轴对称而与位置无关，

则对任意实数m恒成立，即对任意实数m恒成立，

而，所以，

所以，又，所以.

故当对任意实数m，，

即在x轴上存在点，使得直线与关于x轴对称而与位置无关.