Question

（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，平面，M，N分别为AB，SB的中点.

（1）求证：
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析；（2）余弦值为

本试题主要是考查了立体几何中垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。
（1）（利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，这是一般证明的方法和解题四轮。关键是证明平面，得到
（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量和法向量的夹角，从而得到二面角的余弦值的大小。
解：（1）取的中点O，连接
又平面平面，且平面平面
平面.     又………………………2分
如图所示，建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),B(0,,0),C(-2,0,0),S(0,0,),M(1,,0),
N(0,,).……4分
，
则………………………6分
（2）由（1）得.设为平面的一个法向量，
则,取得.…………………………8分
.又为平面的一个法向量，
……………………………………………………12分
二面角的余弦值为