Question

已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．
（1）设m=0．求证：函数f（x）递增；
（2）设m=-1．求关于x的方程f（f（x））=0的解的个数；
（3）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m²，求正实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，f（x）=x|x|=，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
当0≤x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²＜0；
当x₁＜x₂≤0时，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+x₂²=|x₂|²-|x₁²|＜0
当x₁＜0＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²-x₂²＜0
综上所述，f（x）在的上为单调增函数．
（2）当m=-1时，f（f（x））=f（x）|f（x）-2m|=0，可得f（x）=0或f（x）=2m=-2．
对于方程f（x）=0，可解得x=0或x=2m=-2
对于方程f（x）=-2，由x|x+2|=-2知x＜0．
当x∈[-2，0）时，x|x+2|=x（x+2）=（x+1）²-1≥-1＞-2，所以此时无解
当x∈（-∞，-2）时，x|x+2|=-x（x+2）=-2，解得x=-1，结合x＞-2的要求，得x=-1-
综上所述，m=-1时方程有且仅有3个实数解．
（3）在区间（0，+∞）上，函数f（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，
令g（x）=x（x-2m），它在（0，m）上递减，在上（m，+∞）递增
而在[0，+∞）上，f（x）=
根据二次函数g（x）的性质可知，f（x）在（0，m）上递增，在（m，2m）上递减，在（2m，+∞）上递增
当1∈（0，m]时，即当m≥1时，[f（x）]max=f（1）=2m-1，解得2m-1=m²，故此时m=1
当1∈（m，2m]时，即时，此时，[f（x）]max=f（m）=m²，此时的m均满足题意．
当1∈（2m，+∞）时，即时，[f（x）]max为f（1）与f（m）中较大者，
而故f（m）=m²，f（1）=1-2m，故[f（x）]max=m²当且仅当m²≥1-2m
解这个不等式，得
最后将这个范围与进行交集运算，得m∈[-1，）
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]
分析：（1）m=0时，f（x）=x|x|=，接下来可以用函数单调性的定义进行证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，分别在x₁，x₂都大于零或都小于零、或其中一个大于零另一个小零情况下得到f（x₁）＜f（x₂），所以函数为R上的增函数；
（2）先用解析式代入，得f（f（x））=f（x）|f（x）-2m|=0，可得f（x）=0或f（x）=2m=-2．然后讨论方程f（x）=0的解和方程f（x）=-2的解，最后综合可得m=-1时方程有且仅有3个实数解．
（3）先在（0，+∞）上将原函数变形，变为f（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，再令g（x）=x（x-2m），通过讨论二次函数g（x）的性质可知，得到它的单调性：f（x）在（0，m）上递增，在（m，2m）上递减，在（2m，+∞）上递增．再讨论自变量1究竟落在哪一个区间内，结合比较f（1）、f（m）的大小，再解相关的不等式，最后综合可得实数m的取值范围是[-1，1]．
点评：本题以含有绝对值的函数为例，考查了二次函数的单调性和函数的零点等知识点，属于难题．解题时应该注意分类讨论和转化化归等常用数学思想的运用．