Question

如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．
（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE²+EF²=DF²，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．
（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．

解答： （1）证明：∵在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．
PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，
∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE²+EF²=DF²，∴DE⊥EF，
又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，
又DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
（2）解：∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，
∴AC=

36+64

=10，∴BE=

1

2

AC=5，
由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，
tan∠DBE=

DE

BE

=

3

5

．
∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为

3

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．