Question

如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，
且∥，是中点，平面，
， 是中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）根据中位线可得∥，从而可证得∥平面。证四边形为平行四边形可得∥平面，从而可证得平面平面。（2）法一：延长、交于点，连结，则平面，易证△与△全等。过作的垂线，则与垂足的连线也垂直。由二面角的平面角的定义可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空间向量法。由题意可以为坐标原点建立空间直角坐标系。根据各点的坐标求出个向量的坐标，在根据数量积公式求各面的法向量，在用数量积公式求其两法向量夹角的余弦值。注意两法向量所成的角可能与二面角相等也可能为其补角。
试题解析：(1) 证明： 且∥，2分
则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.
6分
(2) 『解法1』：
延长、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作于，连，则，由二面角定义可知，平面角为所求角或其补角.
易求，又，，由面积桥求得，所以
所以所求角为，所以
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
『解法2』：
以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，
，，8分
所以，，
可求得平面的法向量为
又，，
可求得平面的法向量为
则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12分