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【题目】已知曲线C的极坐标方程为ρ=2,在以极点为直角坐标原点O,极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)在平面直角坐标系中,设曲线C经过伸缩变换φ: 得到曲线C′,若M(x,y)为曲线C′上任意一点,求点M到直线l的最小距离.

【答案】
(1)解:曲线C的极坐标方程为ρ=2,化为直角坐标方程:x2+y2=4.

直线l的参数方程为 (t为参数),消去参数t化为普通方程:y=x+3


(2)解:曲线C经过伸缩变换φ: ,即 ,代入曲线C的方程可得:4(x′)2+(y′)2=4,即得到曲线C′: =1.

若M(x,y)为曲线C′上任意一点,设M(cosθ,2sinθ),点M到直线l的距离d= = = ,当且仅当sin(θ﹣φ)=1时取等号.

因此最小距离为:


【解析】(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2,利用互化公式化为直角坐标方程.直线l的参数方程为 (t为参数),相减消去参数t化为普通方程.(2)曲线C经过伸缩变换φ: ,即 ,代入曲线C的方程可得:4(x′)2+(y′)2=4,即得到曲线C′: =1.设M(cosθ,2sinθ),点M到直线l的距离d= = ,即可得出最小值.

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