Question

如图，O，A，B三点不共线，

OC

=2

OA

，

OD

=3

OB

，设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）试用

a

，

b

表示向量

OE

．
（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．

Answer 1

分析：（1）由B，E，C三点共线，可得到一个向量等式，由A，E，D三点共线又可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；
（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．

解答：解：（1）∵B，E，C三点共线，
∴

OE

=x

OC

+（1-x）

OB

=2x

a

+（1-x）

b

，①
同理，∵A，E，D三点共线，可得

OE

=y

a

+3（1-y）

b

，②
比较①，②，得

2x=y 1-x=3(1-y)

解得x=

2

5

，y=

4

5

，
∴

OE

=

4

5

a

+

3

5

b

．
（2）∵

OL

=

a + b

2

，

OM

=

1

2

OE

=

4 a +3 b

10

，

ON

=

1

2

(

OC

+

OD

)=

2 a +3 b

2

，
∴

MN

=

ON

-

OM

=

6 a +12 b

10

，

ML

=

OL

-

OM

=

a +2 b

10

，
∴

MN

=6

ML

，∴L，M，N三点共线．

点评：（1）由三点共线的条件设出参数，并利用待定系数法确定参数，利用算两次的数学思想，根据平面向量基本定理，使问题得以解决．（2）利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，必须注意两个有公共点的向量，其三点共线．