Question

13．设函数f（x）=-x³+bx（b为常数），若方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]内，且函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，则b的取值范围是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （3，4]
• C． [3，4]
• D． （-∞，4]

Answer 1

分析 根据函数单调性和导数之间的关系，以及方程根所在的区间，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：函数f（x）=-x³+bx（b为常数），
所以f（x）=-x（x²-b）=0的根都在区间[-2，2]内，
则$\sqrt{b}$≤2，得0≤b≤4；
又因为函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
所以f′（x）=-3x²+b≥0在区间（0，1）上恒成立，
所以b≥3，
综上可得：3≤b≤4，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数单调性和根的分布，建立不等式关系是解决本题的关键．