Question

已知sin(

π

4

+x)sin(

π

4

-x)=

1

6

，x∈(

π

2

，π)，则sin4x=

-

4 2

9

．

Answer 1

分析：已知等式利用积化和差公式变形，求出cos2x的值，由x的范围求出2x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2x的值，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）=-

1

2

（cos

π

2

-cos2x）=

1

2

cos2x=

1

6

，
∴cos2x=

1

3

，
∵x∈（

π

2

，π），∴2x∈（π，2π），
∴sin2x=-

1-cos22x

=-

2 2

3

，
则sin4x=2sin2xcos2x=2×（-

2 2

3

）×

1

3

=-

4 2

9

．
故答案为：-

4 2

9

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．