Question

已知双曲线方程为2x²-y²=2 ． 

(1) 过定点P(2 ，1) 作直线交双曲线于P₁，P₂两点，当点P(2 ，1) 是弦P₁P₂ 的中点时，求此直线方程．    
(2) 过定点Q(1 ，1) 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于Q₁，Q₂两点，且Q 是弦Q₁Q₂的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：设y=kx-2k+1．
由消y并化简，得（2-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-3=0．  
设直线与双曲线的交点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
当2-k²≠0即k²≠2时，
有
又点P(2，1)是弦P₁P₂的中点，
，解得k=4．    
当 k=4时
Δ=4k² (2k-1)²-4(2-k²) (-4k²+4k-3)=56×5>0,
当k²=2即时，
与渐近线的斜率相等，
即的直线l与双曲线不可能有两个交点，  
综上所述，所求直线方程为y=4x-7．  
(2)假设这样的直线l存在，设Q₁（x₁，y₁），Q2（x₂，y₂），
则有
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
且两式相减，得
∴2(x₁-x₂)(x₁+x₂)-(y₁-y₂) (y₁+y₂)=0,
∴2(x₁-x₂)-（y₁-y₂)=0.
若直线Q₁Q₂⊥QX，则线段Q₁Q₂的中点不可能是点Q(1，1)，
所以直线Q₁Q₂有斜率，于是
∴直线Q₁Q₂的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．
由得2x²-（2x-1）²=2，    即2x²-4x+3 =0，    
∴Δ=16-24 <0．
这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．