Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）$（A＞0，ω＞0，\;\;\;0＜φ＜\frac{π}{2}）$满足：
①f（x）的最小正周期为π；
②当x=$\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值；
③f（x）的图象过点$（-\frac{π}{12}，\;5）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位后，所得图象关于y轴对称，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期公式可求ω的值，由$x=\frac{π}{12}$时，取得最大值，以及A＞0可得$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$，结合范围$0＜φ＜\frac{π}{2}$可求$φ=\frac{π}{3}$．由图象过点$（-\frac{π}{12}，5）$解得A的值，从而可求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得向右平移m个单位后得$y=Asin（2x+\frac{π}{3}-2m）$，
由x=0时，$\frac{π}{3}-2m=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，结合范围0＜m＜π，即可解得m的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由f（x）的最小正周期为π，得$ω=\frac{2π}{π}=2$，（2分）
由$x=\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值，以及A＞0可得：$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），即$φ=\frac{π}{3}+2kπ$，又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，$φ=\frac{π}{3}$．           （4分）
所以$f（x）=Asin（2x+\frac{π}{3}）$过点$（-\frac{π}{12}，5）$得$Asin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）=5$解得A=10，
所以$f（x）=10sin（2x+\frac{π}{3}）$．               （6分）
（Ⅱ）f（x）的图象向右平移m（0＜m＜2π）个单位后得$y=Asin（2x+\frac{π}{3}-2m）$，（8分）
因为图象关于y轴对称，所以当x=0时，有$\frac{π}{3}-2m=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
解得$m=-\frac{π}{12}-\frac{kπ}{2}（k∈Z）$．
又0＜m＜π，所以$m=\frac{5π}{12}$或$m=\frac{11π}{12}$．                       （12分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数解析式的求法，属于中档题．