Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】解：圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即kCMkl= ×1=﹣1
∴b=﹣a﹣1
∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0
∴|CM|2=（ ）2=2（1﹣a）2
∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a2+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴﹣2a2+4a+7=a2+b2 ， 得a=﹣1或 ，
当a= 时，b=﹣ ，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0
当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．

【解析】将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．因为CM⊥l，则有kCMkl=﹣1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由： 求解．