Question

椭圆C的方程，斜率为1的直L与椭C交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率，直线l过点M（b，0），且，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆的右焦点F，设向量=λ（+）（λ＞0），若点P在椭C上，λ的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴a=2b，c=．
，
∴，B（0，-b）．
∵，∴-，b²=4，a²=16．
∴椭圆C的方程为．（5分）
（Ⅱ）由，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，
．
，．
∵点P在椭圆C上，将点P坐标代入椭圆方程中得．
∵b²+c²=a²，0＜e＜1，
∴，
∴．（12分）
分析：（Ⅰ）由，知a=2b，c=．由，知，B（0，-b）．再由能推导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由，得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，由韦达定理知，．再由点P在椭圆C上，知，由此能导出λ的取值范围．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求实数λ的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．