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16.如图,已知圆的两条弦AB,CD,延长AB,CD交于圆外一点E,过E作AD的平行线交CB的延长线于F,过点F作圆的切线FG,G为切点.求证:
(I)△EFC∽△BFE;
(Ⅱ)FG=FE.

分析 (Ⅰ)由直线平行的性质得∠FEB=∠A,由圆周角定理得∠A=∠C,由此能证明△EFC∽△BFE.
(Ⅱ)由三角形相似的性质得EF2=FB•FC,由切割线定理得FG2=FB•FC,由此能证明FG=FE.

解答 证明:(Ⅰ)∵EF∥AD,∴∠FEB=∠A,
又∠A=∠C,∴∠C=∠FEB,
在△EFC与△BFE中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠BFE}\\{∠C=∠FEB}\end{array}\right.$,∴△EFC∽△BFE.…(5分)
(Ⅱ)∵△EFC∽△BFE,
∴$\frac{EF}{FB}=\frac{FC}{EF}$,∴EF2=FB•FC,
又FG是圆的切线,由切割线定理得FG2=FB•FC,
∴EF2=FG2,∴FG=FE.…(10分)

点评 本题考查三角形相似的证明,考查线段相等的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意圆周角定理和切割线定理的合理运用.

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