Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点F（1，0）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）抛物线C的准线方程为： ，
∴ ，
又M在抛物线上，
即 ，
∴p2﹣4p+4=0，
解得p=2；
所以抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）设点E（0，t）（t≠0），
由已知切线不为y轴，设EA：y=kx+t，
联立 ，消去y，
可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0；
直线EA与抛物线C相切，
∴△=（2kt﹣4）2﹣4k2t2=0，
即kt=1代入 ，
∴x=t2 ， 即A（t2 ， 2t）；
设切点B（x0 ， y0），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，
则 ，
解得： ，
即 ；
思路1：直线AB的斜率为 ，
直线AB的方程为 ，
整理 ，
∴直线AB过定点恒过定点F（1，0）；
当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时直线AB为x=1，过点F（1，0）；
综上，直线AB过定点恒过定点F（1，0），
思路2：直线AF的斜率为 ，
直线BF的斜率为 ，
∴kAF=kBF ， 即A，B，F三点共线；
当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线；
∴直线AB过定点F
【解析】（Ⅰ）根据抛物线的准线方程与M在抛物线上，列出方程组求出p的值即得抛物线方程；（Ⅱ）根据直线EA与圆锥曲线相切，用直线方程与圆锥曲线方程联立，△=0，根据圆的对称性，写出直线AB的方程；
思路1：利用直线AB的斜率、直线AB的方程，判断直线AB恒过定点；
思路2：根据三点共线以及直线的斜率，判断直线AB过定点F．