Question

已知A(3，

3

)，O是原点，点P（x，y）的坐标满足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0.

，
（1）求

OA • OP

| OA |

的最大值；
（2）求z=

OA • OP

| OP |

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）做出满足条件足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

的可行域，根据平面向量数量积的几何意义，可得目标函数

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，过P作

OA

的垂线PH，垂足为H，易得当P在可行域内移动到直线

3

x-y=0和直线x-

3

y+2=0的交点时，目标函数有最大值．
（2）结合（1）的结论，可得当∠AOP=

5π

6

时，目标函数有最小值，当∠AOP=

π

6

时，目标函数有最大值，进而得到z=

OA • OP

| OP |

的取值范围．

解答：解：（1）作出可行域如图，则

OA • OP

| OA |

=|

OP

|cos∠AOP，
又∠AOP是

OA

与

OP

的夹角，
∴目标函数

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，
过P作

OA

的垂线PH，垂足为H，
当P在可行域内移动到直线

3

x-y=0和直线x-

3

y+2=0的交点B(1，

3

)时，

OP

在

OA

上的投影为|

OH

|最大，此时|

OP

|=|

OB

|=2，∠AOP=∠AOB=

π

6

，
∴

OA • OP

| OA |

的最大值为|

OB

|cos∠AOB=2cos

π

6

=

3

（2）z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|cos∠AOP=2

3

cos∠AOP，
因为∠AOP=[

π

6

，

5π

6

]，所以当∠AOP=

π

6

时，zmax=2

3

cos

π

6

=3；
当∠AOP=

5π

6

时，zmin=2

3

cos

5π

6

=-3．∴z=

OA • OP

| OP |

的取值范围为[-3，3]．

点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，平面向量数量积的运算，余弦函数的性质，其中根据平面向量数量积运算的几何意义，分析出目标函数的几何意义，是解答本题的关键．