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过点B(0,1)的直线l1交曲线x=2于P(2,y0),过点B'(0,-1)的直线l2交x轴于P'(x0,0)点,数学公式,l1∩l2=M.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线l与C相交于不同的两点S、T,已知点S的坐标为(-2,0),点Q(0,m)在线段ST的垂直平分线上且数学公式≤4,求m的取值范围.

解:(Ⅰ)由题意,直线l1的方程是
,∴l1的方程是
若直线l2与y轴重合,则M(0,1);
若直线l2不与y重合,可求得直线l2的方程是,与l1的方程联立消去x0
因l1不经过(0,-1),故动点M的轨迹C的方程是(y≠-1)…(5分)
(Ⅱ)设T(x1,y1),直线l的方程为y=k(x+2)
于是S、T两点的坐标满足方程组,由方程消去y并整理得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0
由-2x1=得x1=,从而y1=
设线段ST的中点为N,则N()…(7分)
以下分两种情况:①当k=0时,点T的坐标为(2,0),线段ST的垂直平分线为y轴,
于是,由≤4得:-2≤m≤2
②当k≠0时,线段ST的垂直平分线方程为y-=-(x+
令x=0,得m=
,∴
=-2x1-m(y1-m)=++)=≤4
解得-≤k≤且k≠0,∴m==
∴当-≤k<0时,≤-4;当0<k≤时,≥4
∴-≤m≤,且m≠0
综上所述,-≤m<,且m≠0.…(12分)
分析:(Ⅰ)确定直线l1、l2的方程,联立方程可得动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,确定线段ST的中点坐标,分类讨论,利用≤4,即可得到结论.
点评:本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知动点P与直x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍,
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)点M(1,1)在所求轨迹内,且过点M的直线与曲线C交于A、B,当M是线段AB中点时,求直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆C的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,斜率为1的直L与椭C交于A(x1,y1)B(x2,y2)两点.
(Ⅰ)若椭圆的离心率e=
3
2
,直线l过点M(b,0),且
OA
OB
=-
12
5
,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线l过椭圆的右焦点F,设向量
OP
=λ(
OA
+
OB
)(λ>0),若点P在椭C上,λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•淮南二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)与双曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦点,且椭C的离心e=
1
2
,又A,B为椭圆的左右顶点,M为椭圆上任一点(异于A,B).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直MA交直x=4于点P,过P作直线MB的垂线x轴于点Q,Q的坐标;
(3)求点P在直线MB上射R的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)离心率为
3
2
,且过P(
6
2
2
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知直线l过点M(-
1
2
,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N,直  线l与椭圆E交于A,B两点,与y轴交与D点,若
AB
=λ
AN
BD
BN
,且λ+μ=
5
2
,求抛物线C的标准方程.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年安徽省皖南八校高三第一次联考理科数学试卷 题型:解答题

(本小题满分12分)已知椭圆过点A(a,0),B(0,b)的直

 

线倾斜角为,原点到该直线的距离为.

 

(1)求椭圆的方程;

(2)斜率小于零的直线过点D(1,0)与椭圆交于M,N两点,若求直线MN的方程;

(3)是否存在实数k,使直线交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。

 

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