Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围A；
（3）在（2）的条件下，设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个根为x₁、x₂，若对任意a∈A，t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时，f′=

-2(x2-x-2)

(x2+2)2

 ，由此能求出过（2，f（2））切线方程．
（2）由f′(x)=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，f（x）在区间[-1，1]上是增函数，知x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．由此能求出实数a的取值范围A．
（3）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，由△=a²+8＞0，知|x1-x2|=

a2+8

≤3，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R），
∴a=1时，f（x）=

2x-1

x2+2

，
∴f′=

-2(x2-x-2)

(x2+2)2

 ，
∴f′（2）=0，f（2）=

4-1

4+2

=

1

2

，
∴过（2，f（2））切线方程为y=

1

2

．
（2）∵f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R），
∴f′(x)=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设g（x）=x²-ax-2，则问题等价于

g(1)=1-a-2≤0 g(-1)=1+a-2≤0

，解得-1≤≤1．
∴A=[-1，1]．
（3）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个非零实数根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
从而|x1-x2|=

a2+8

≤3，
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立．
∴m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
∴m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），则问题等价于：

g(-1)=m2-m-2＞0 g(1)=m2+m-2≥0

，
解得m≤-2，或m≥2．
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意导数性质和等价转化思想的合理运用．