Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且cosB=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）若a=2，b=2$\sqrt{3}$，求角C；
（Ⅱ）求sinA•sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可解出A，在利用内角和解出C；
（2）由A+C=$\frac{π}{3}$可将sinA•sinC化为sin（$\frac{π}{3}$-C）•sinC，然后借助三角恒等变换化成关于C的三角函数

解答 解：（1）在△ABC中，∵cosB=-$\frac{1}{2}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，可得
$\frac{2}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，∴sinA=$\frac{1}{2}$．
又∵B=$\frac{2π}{3}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
∴C=π-A-B=$\frac{π}{6}$．
（2）sinA•sinC=sin（$\frac{π}{3}$-C）•sinC
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{1}{2}$sinC）•sinC
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2C+$\frac{1}{4}$cos2C-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$
∵C∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴2C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）．
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]．
∴sinA•sinC的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了解三角形和三角函数恒等变换，属于中档题．