精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知点A(0,1)、B(0,-1),P是一个动点,且直线PA、PB的斜率之积为-
1
2

(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设Q(2,0),过点(-1,0)的直线l交C于M、N两点,若对满足条件的任意直线l,不等式
QM
QN
≤λ
恒成立,求λ的最小值.
(1)设动点P的坐标为(x,y),则直线PA,PB的斜率分别是
y-1
x
y+1
x

由条件得
y-1
x
y+1
x
=-
1
2
,-----------------2分
x2
2
+y2=1(x≠0)
动点P的轨迹C的方程为
x2
2
+y2=1(x≠0)
-----------------6分分(注:无x≠0扣1分)
(2)设点M,N的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
ⅰ)当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2
y21
=
1
2

QM
=(-3,y1),
QN
=(-3,y2)=(-3,-y1)

QM
QN
=(-3)2-
y21
=
17
2
---------------10分
ⅱ)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x+1),
x2
2
+y2=1
y=k(x+1)
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0----------11分
x1+x2=-
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
----------------12分
QM
QN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2

又∵y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
QM
QN
=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4
-----------------13分
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
17
2
-------------------14分
综上所述
QM
QN
的最大值是
17
2
----------------15分
∴λ的最小值为
17
2
-----------------------16分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,BD∥XY,AC、BD相交于E.

(1)求证:△ABE≌△ACD; 
(2)若AB=6 cm,BC=4 cm,求AE的长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知两点F′(-2,0),F(2,0),点P为坐标平面内的动点,且满足|
F′F
||
FP
|+
F′F
F′P
=0

(1)求动点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线l与轨迹C和⊙F:(x-2)2+y2=1交于四点,自下而上依次记这四点为A、B、C、D,求
AB
CD
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知F1,F2分别为椭圆C1
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的上下焦点,其F1是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF2|=
3
5

(1)试求椭圆C1的方程;
(2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=k(x+t)(t≠0)交椭圆于A,B两点,若椭圆上一点P满足
OA
+
OB
OP
,求实数λ的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(200个•陕西)已知椭圆C:
x2
2
+
y2
b2
=1
(个>b>0)的离心率为
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于个、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
3
2
,求△个OB面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知抛物线方程y2=4x,过点P(1,2)的直线与抛物线只有一个交点,这样的直线有(  )
A.0条B.1条C.2条D.3条

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点P在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6-|PF2|,且椭圆C的离心率为
5
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得
GM
GN
为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案