Question

若三棱锥P-ABC的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点P在底面ABC上的射影一定是△ABC的（　　）

A．外心

B．垂心

C．内心

D．重心

Answer 1

分析：设点P在底面ABC上的射影点为0，由∠PAO=∠PBO=∠PCO，PO=PO=PO，∠POA=∠POB=∠POC=90°，先证明△PAO≌△PBO≌△PCO，从而得到AO=BO=CO，由此可知O是△ABC的外心．

解答：解：设点P在底面ABC上的射影点为0，
∵∠PAO=∠PBO=∠PCO，
PO=PO=PO，
∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴△PAO≌△PBO≌△PCO，
∴AO=BO=CO
∴O是△ABC的外心．
故选A．

点评：三角形的三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，它到三角形三个项点的距离相等；三角形的三条角平分线的交点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离相等；三角形的三边中线的交叫叫重心，它到顶点的距离等于它到对边距离的二倍；三角形三条高的交点叫垂心．